精讲精练-数量3#

(讲义+笔记)

主讲教师：田鹏

授课时间：2025.03.13

精讲精练-数量3（讲义）#

学习任务：#

1. 课程内容：几何问题、等差数列问题
2. 对应讲义：第 $390\sim 395$ 页

3.重点内容：#

（1）掌握几何问题基本公式及其运用
(2) 掌握三角形三边关系、勾股定理、特殊三角形及面积相关知识
（3）掌握相似三角形的判定和定理的计算方式等
(4) 掌握等差数列的通项公式以及各种求和公式

第四节 几何问题#

【例1】（2024广东事业单位）将边长为80厘米的正方形硬纸板裁剪成一个最大的圆形硬纸板，则被裁剪掉的硬纸板面积为多少平方厘米？

A. $80+40\pi$

B. $800+400\pi$

C. $640-160\pi$

D. $6400-1600\pi$

【例 2】(2023 国考)一个圆柱体零件 A 和一个圆锥体零件 B 分别用甲、乙两种合金铸造而成。A 的底面半径和高相同，B 的底面半径是高的 2 倍，两个零件的高相同，质量也相同。问甲合金的密度是乙合金的多少倍？

A. $4/3$

B. $3/4$

C. $2/3$

D. $3/2$

【例 3】(2024 广东)甲、乙、丙三艘船在海上航行。某一时刻, 甲观测到乙位于它的北偏西 $30^{\circ }$ 方向, 甲、乙相距 6 千米; 甲观测到丙位于它的正西方

向，甲、丙相距6千米，则乙与丙之间的距离为多少千米？

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

【例 4】（2022 联考）兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方 500 米处。兔子和乌龟同时出发，均保持匀速奔跑，且兔子的速度是乌龟的 5 倍。兔子先向正东方跑了一会儿后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，速度不变，结果兔子和乌龟同时到达终点。那么兔子发现跑错方向时已经跑了多少米？

A. 600

B. 1200

C. 2400

D. 3000

【例 5】（2025 天津）某工业园区内一区域如下图所示，三角形 ABC 与 ACD 为两个面积相等的直角三角形，AB 长度是 BC 的 2 倍。现在区域内划出如图两个圆形区域摆放花坛，两个圆形均与图中两条边相切。已知 B 点到大圆、D 点到小圆上任一点的最短距离分别为 AD 长度的 $1/2,1/5$ ，问大圆面积是小圆的多少倍？

A. 3 倍以下

B. $3\sim 3.5$ 倍之间

C. $3.5\sim 4$ 倍之间

D. 4 倍以上

【例6】（2025国考）某厂区如图所示，其中ABCD为矩形，ABEF为直角梯形，AB与DE相交于G点，其中阴影区域ADGF为涉密区域。已知AD、AF、AB长度分别为240米、150米、100米，问涉密区域的面积为多少万平方米？

A. 1.2

B. 1.3

C. 1.4

D. 1.5

【例7】（2023国考）公园里有一片四边形草坪，沿对角线修建的小道相交于0点，0到四个顶点A、B、C、D的距离之比正好为1：2：3：4，一名工人花费1天正好完成AOB区域的修剪，问第二天至少需要额外增加多少名效率相同的工人一起工作，才能在当天内完成剩余草坪的修剪？

A. 8

B. 10

C. 11

D. 12

【例8】（2023国考）一个三角形公园ABC内的道路如下图中实线所示。已知AE=EF=FB，AD=DC，且黑色部分为人工湖。问公园总面积是人工湖面积的多少倍？

A. 9

B. 12

C. 16

D. 18

【例 9】（2024 联考）有一个高为 $\mathrm{h}$ 的圆锥形容器，若容器内装有 10 升水，水面高度恰好为容器高度的一半。问该容器最多能装多少升水？

A. 80

B. 60

C. 40

D. 20

$\text{念}$ 思维导图

第五节 等差数列问题

【例1】（2022联考）某市对下辖9个文艺表演团体去年新创节目的数量进行统计分析，发现9个团体新创节目的数量恰好成等差数列，其中前5个团体的新创节目总数是60，前7个团体的新创节目总数是70。那么这9个文艺表演团体去年新创节目的总数是：

A. 72

B. 76

C. 78

D. 80

【例2】（2024陕西事业单位）小明做值日的时候发现教室的挂历上显示的

是一周前的日期，于是小明将挂历的日期翻到今天，恰好所翻页的日期加起来是175。问今天是几号？

A. 24

B. 25

C. 28

D. 29

【例3】（2023国考）工厂从某周第一天开始生产某种零件，每周生产7天，从第二天开始每一天都比前一天多生产200件。已知工厂第三周的产量是第一周的2倍，问第几天其日产量第一次达到1万件？

A. 37

B. 38

C. 39

D. 40

【例4】（2024黑龙江公安）某工厂生产一批零件，已知第1天每名工人只能生产10个，往后每天都比前一天多生产1个。若安排100名工人生产，25天正好完成这项生产任务。问若要在15天内完成这项生产任务，至少需要安排多少名工人？

A. 256

B. 243

C. 225

D. 216

$\mathcal{O}$ 思维导图#

精讲精练-数量3（笔记）#

学习任务：#

1. 课程内容：几何问题、等差数列问题
2. 对应讲义：第 $390\sim 395$ 页

3.重点内容：#

（1）掌握几何问题基本公式及其运用
(2) 掌握三角形三边关系、勾股定理、特殊三角形及面积相关知识
（3）掌握相似三角形的判定和定理的计算方式等
(4) 掌握等差数列的通项公式以及各种求和公式

目录#

01 几何问题#

02 等差数列#

【注意】几何问题每年考好几个，一般至少 $2\sim 3$ 个，等差数列是这几年的热门小考点，国考、省考每年考一个等差数列。

第四节 几何问题#

【注意】几何问题有些题有图，有些题需要自己画图，但都是和图有关的。两极分化比较严重，简单题最多，中等题较少，剩下的是难题，简单题+中等题占 $70\%$ ，难题占 $30\%$ 。难题有时间做也不做，做一题难题的时间不如做三题言语。核心策略是把简单题和中等题抓住即可，接下来的问题是如何识别简单题。

几何问题的学习要点#

公式类 $\to$ 结论类#

【注意】一看就知道用什么公式 $\to$ 公式类, 一定要做。知道结论就可以做的 $\to$ 结论类。

一、基础公式#

1. 规则图形——直接用公式
2. 不规则图形——割补转化成规则图形

【注意】基础公式：#

1. 规则图形——直接用公式，比如长方形周长面积、正方形周长面积、圆周长面积。
2. 不规则图形——割补转化成规则图形。直角三角形内接一个圆，求阴影部分的面积，阴影部分不是规则的， $S_{\text{阴影}}=S_{\text{三角形}}-S_{\text{圆}}$ 。

长度相关公式#

正方形周长： C_ 正方形 $=4a$

长方形周长： C_ 长方形 $=2(a+b)$

圆形周长： $C_{\text{圆}}=2\pi r$

扇形弧长公式： $2\pi r\times \frac{n^{\circ }}{360^{\circ }}$

【注意】长度相关公式：#

1. 正方形周长： $C_{\text{正方形}}=4a$ 。
2. 长方形周长： $C_{\text{长方形}}=2(a+b)$ 。
3. 圆形周长： $C_{\text{圆}}=2\pi r=\pi d$ 。
4. 扇形弧长公式： $2\pi r\ast n^{\circ }/360^{\circ }$ 。扇形是圆的一个部分， $C_{\text{圆}}=2\pi r$ ，看扇形在圆中所占的比例 $\to n^{\circ }/360^{\circ }$ 。

面积相关公式#

$S_{\text{菱形}}=$ 对角线乘积 $÷2$

【注意】#

1. $S_{\text{正方形}}=a^2;S_{菱形}=$ 对角线乘积 / 2, 菱形是特殊的平行四边形, 四边相等, 连接对角线是对称的, 对角线与对角线是垂直的。连接对角线分成 4 个全等的直角三角形, 两条对角线分别为 a、b, $1/2\ast (1/2)\ast a\ast (1/2)\ast b\ast 4=ab/2;S_{\text{长方形}}=ab$ 。

$S_{\text{菱形 }}=$ 对角线乘积 $÷2$

2. ${\mathrm{S}}_{\text{平行四边形}}=\mathrm{ah}$ ； ${\mathrm{S}}_{\text{三角形}}=\mathrm{ah}/2$ 。
3. $S_{\text{梯形}}=(a+b)/2\ast h$ ; $S_{\text{圆形}}=\pi r^2$ ; $S_{\text{扇形}}=n^{\circ }/360^{\circ }\ast \pi r^2$ , $n^{\circ }/360^{\circ }$ 是占比, $\pi r^2$ 是圆面积。

表面积相关公式#

【注意】表面积相关公式： ${\mathrm{S}}_{\text{正方体}}=6{\mathrm{a}}^2$ ，6个面都是正方形； ${\mathrm{S}}_{\text{长方体}}=2\mathrm{ab}+2\mathrm{bc}+2\mathrm{ac}$ ，有三组相对面： ${\mathrm{S}}_{\text{球体}}:4\pi {\mathrm{r}}^2$ ； ${\mathrm{S}}_{\text{圆柱体}}:2\pi {\mathrm{r}}^2+2\pi \mathrm{r}\ast \mathrm{h}$ ，圆柱侧面展开是一个长方形，上下底面是圆 $\to \pi {\mathrm{r}}^2\ast 2$ ，长方形的长是圆的周长 $\to 2\pi \mathrm{r}$ ，长方形面积为 $2\pi \mathrm{r}\ast \mathrm{h}$ 。

体积相关公式

【注意】体积相关公式： $V_{\text{正方体}}=a^3$ ； $V_{\text{长方体}}=abc$ ； $V_{\text{柱体}}=Sh$ ，圆柱的底面是 $\pi$

${\mathrm{r}}^2$ , 所有的柱体都是底面积 $\ast$ 高; ${\mathrm{V}}_{\text{椎体}}=1/3\ast \mathrm{Sh}$ , 所有的椎体都是底面积 $\ast$ 高 $(1/3)$ ; ${\mathrm{V}}_{\text{球体}}=4/3\ast \pi {\mathrm{r}}^3$ 。

【知识点】几何公式：#

1.周长：#

（1）正方形：4a；长方形：2（a+b）。
(2) 圆形: $2\pi r$ ; 弧长: $2\pi r\ast n^{\circ }/360^{\circ }$ 。

2. 面积：#

(1) 正方形: $a^2$ ; 长方形: ab。
(2) 三角形: ah/2; 圆形: πr²; 扇形: πr²*n° /360°。
(3) 梯形: $\left(a+b\right)/2\ast h$ ; 菱形: 对角线乘积/2。

3. 表面积：#

（1）正方体： $6{\mathrm{a}}^2$ ；长方体：2（ab+bc+ac）。
（2）圆柱体： $2\pi r^2+2\pi r\ast h$ ；球体： $4\pi r^2$ 。

4. 体积：#

（1）正方体： $a^3$ ；长方体：abc。
(2) 柱体: Sh; 椎体: $1/3\ast \mathrm{Sh}$ ; 球体: $4/3\ast \pi {\mathrm{r}}^3$ 。

【例1】（2024广东事业单位）将边长为80厘米的正方形硬纸板裁剪成一个最大的圆形硬纸板，则被裁剪掉的硬纸板面积为多少平方厘米？

A. $80+40\pi$

B. $800+400\pi$

C. $640-160\pi$

D. $6400-1600\pi$

【解析】1. 正方形边长为 80，则圆的直径为 80，半径为 40，所求 $=S_{\text{正}}-S_{\text{圆}}=80^2-\pi 40^2=6400-1600\pi$ ，对应 D 项。【选 D】

【注意】#

1. 前面是 6400，只有 D 项符合，选择 D 项。
2. 所求 $=a^2-$ 一个数，前面是平方数，排除 A、B 项，640 不是平方数，排除 C 项，选择 D 项。

【例 2】（2023 国考）一个圆柱体零件 A 和一个圆锥体零件 B 分别用甲、乙两种合金铸造而成。A 的底面半径和高相同，B 的底面半径是高的 2 倍，两个零件的高相同，质量也相同。问甲合金的密度是乙合金的多少倍？

A. $4/3$

B. $3/4$

C. $2/3$

D. $3/2$

【解析】2. 出现圆锥体、圆柱体，知道公式 $\to$ 公式类。密度是初中物理中学的，密度 $=$ 质量/体积， $({\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}/{\mathrm{V}}_{\mathrm{A}})$ ： $({\mathrm{m}}_{\mathrm{A}}/{\mathrm{V}}_{\mathrm{B}})$ ，质量相同，则所求 $={\mathrm{V}}_{\mathrm{B}}/{\mathrm{V}}_{\mathrm{A}}$ ，质量一定，密度和体积成反比。半径、高都没有给，给的是倍数，求的也是倍数，赋值。对于 A， $r=1,h=1$ ；对于 B， $r=2,h=1$ 。 ${\mathrm{V}}_{\mathrm{A}}=\mathrm{S}\ast \mathrm{h}=\pi r^2\ast \mathrm{h}=\pi \ast 1^2\ast 1=\pi$ ， ${\mathrm{V}}_{\mathrm{B}}=1/3\ast \mathrm{S}\ast \mathrm{h}=1/3\ast \pi$ ； $\pi r\ast h=1/3\ast \pi \ast 4\ast 1=4\pi /3$ ，所求 $={\mathrm{V}}_{\mathrm{B}}/{\mathrm{V}}_{\mathrm{A}}=(4\pi /3)÷\pi =4/3$ ，对应 A 项。【选 A】

【例 3】(2024 广东)甲、乙、丙三艘船在海上航行。某一时刻, 甲观测到乙位于它的北偏西 $30^{\circ }$ 方向, 甲、乙相距 6 千米; 甲观测到丙位于它的正西方向, 甲、丙相距 6 千米, 则乙与丙之间的距离为多少千米?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

【解析】3. 画坐标系，甲观测到 $\to$ 甲在原点，乙在甲北偏西 $30^{\circ }$ ，甲乙相距为6，丙在甲正西方向，甲丙相距6，甲乙丙构成一个三角形，两条边都是6，有一个 $30^{\circ }$ ，有直角，则 $\angle$ 乙甲丙 $=60^{\circ }$ ，这个三角形为等边三角形，对应D项。【选D】

【注意】经验：一般题目涉及方向，需画坐标系作图，上北下南左西右东。

二、结论类——三角形相关：#

1. 勾股定理： $a^2+b^2=c^2$

常考勾股数：（3、4、5）n、（6、8、10）、（5、12、13）n

【注意】结论类——三角形相关：常考的是直角三角形 $\to$ RT $△$ 。

1. 勾股定理： $a^2+b^2=c^2$ 。
2. 常考勾股数：（3、4、5）n、（6、8、10）本质是（3、4、5）的倍数、（5、12、13）n。考试爱考勾股数，记住做题会快。

(1) 确定形状: 已知一个三角形的三边长度为 6、8、10, 满足勾股数, 可以证明这个三角形是直角三角形。
(2) 已知两条边, 求第三条边: 已知有一个直角三角形, $a=1000$ , $b=2400$ ,求 c, 套公式需要用 $\sqrt{1000^2+2400^2}$ , $1000=5\ast 200$ , $2400=12\ast 200$ , 直角三角形中有两条边符合勾股数的比例, 第三边一定符合, $c=13\ast 200=2600$ 。

二、结论类——三角形相关：#

1. 勾股定理 ${\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2={\mathrm{c}}^2$

常考勾股数：（3、4、5）n、(6、8、10)

【例 4】（2022 联考）兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方 500 米处。兔子和乌龟同时出发，均保持匀速奔跑，且兔子的速度是乌龟的 5 倍。兔子先向正东方跑了一会儿后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，速度不变，结果兔子和乌龟同时到达终点。那么兔子发现跑错方向时已经跑了多少米？

A. 600

B. 1200

C. 2400

D. 3000

【解析】4. 画坐标系，起点为 A，终点为 B。兔子先向正东方跑了一会儿后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，兔子从 A 点出发，假设到 C 点发现错了，再直奔到 B 点；没有说乌龟怎么跑，兔子是跑错了，乌龟是从 A 到 B。已知 $AB=500m$ ，兔子跑的是 $AC+BC$ ，兔子和乌龟同时出发同时到达，时间相同，速度是 5 倍，路程也是 5 倍， $AC+BC=2500m$ 。问的是兔子发现跑错方向时已经跑了多少米，即求 $AC$ ， $AC=2500-x$ ，勾股定理， $500^2+x^2=(2500-x{)}^2$ ，解方程比较麻烦，选项就是 $x$ ，可以代入选项，这是一个直角三角形，优先代入勾股数，短直角边为 500，能想到的勾股数是 5、12、13， $x=1200$ ， $2500-x=1300$ ，就是正确答案，对应 B 项。【选 B】

【注意】#

1. 经验：一般题目涉及方向，需画坐标系作图。
2. 当题目出现直角三角形且所给数据均为整数时，优先猜勾股数 $3/4/5$ 或 $5/12/13$ 。

二、结论类——三角形相关：#

2. 特殊三角形三边关系

【注意】特殊三角形三边关系：

1. $30^{\circ }$ 角直角三角形: 三边之比为 $30^{\circ }$ 所对直角边: $60^{\circ }$ 所对直角边: 斜边 $=1:\sqrt{3}:2$ 。已知 $30^{\circ }$ 角直角三角形的短直角边为 75 , 没记住就需要用斜边为 2 倍的短直角边 $\to 150$ , 长直角边为 $\sqrt{150^2-75^2}$ , 记住比例, 则斜边为 150 , 长直角边为 $150\sqrt{3}$ 。已知直角边: 斜边 $=1:2$ , 前提是直角三角形, 1 对应的角为 $30^{\circ }$ 。两条直角边之比为 $1:\sqrt{3}$ , 则两个角为 $30^{\circ }、60^{\circ }$ 。

2.45°角直角三角形：三边之比为 $1:1:\sqrt{2}$ 。直角边为45，则斜边为 $45\sqrt{2}$ 。

【例 5】（2025 天津）某工业园区内一区域如下图所示，三角形 ABC 与 ACD 为两个面积相等的直角三角形，AB 长度是 BC 的 2 倍。现在区域内划出如图两个圆形区域摆放花坛，两个圆形均与图中两条边相切。已知 B 点到大圆、D 点到小圆上任一点的最短距离分别为 AD 长度的 $1/2,1/5$ ，问大圆面积是多少倍？

A. 3 倍以下

B. $3\sim 3.5$ 倍之间

C. $3.5\sim 4$ 倍之间

D. 4 倍以上

【解析】5. 三角形 ABC 与 ACD 为两个面积相等的直角三角形, 有一个公共的

直角边， $S=1/2\ast a\ast b$ ， $S$ 、 $1/2$ 、 $a$ 相同，则 $b$ 相同，根据角边角，则这两个三角形全等。大的图形为平行四边形，两个直角为内错角，说明两条线平行；两个三角形全等，对应角相等 $\to$ 内错角，说明两条线平行，因此ABCD为平行四边形。AB长度是BC的2倍，赋值BC=1，AB=2，已知是直角三角形，直角边：斜边=1：2,1对应的角∠BAC为 $30^{\circ }$ ， $\angle B=60^{\circ }$ ，两个三角形全等， $\angle D=60^{\circ }$ ， $\angle ACD=30^{\circ }$ 。涉及相切的概念，说明直线和圆只有一个交点，切点连接圆心和切线是垂直的。红色的两个三角形全等（斜边相同，短直角边都是半径，有一个直角）， $\angle B$ 平分成两个角，研究一个三角形，一个角是 $30^{\circ }$ ，只需要分析一个 $30^{\circ }$ 的直角三角形， $30^{\circ }$ 角对应的是半径R，斜边为2R，黑色线为R，蓝色线为R，已知B点到大圆、D点到小圆上任一点的最短距离分别为AD长度的1/2、1/5，B点到大圆的最短距离就是R，D点到小圆的最短距离就是r，则 $R=1/2\ast AD$ ， $r=1/5\ast AD$ ，所求= $\pi R^2/(\pi r^2)=(1/2{)}^2÷(1/5{)}^2=25/4=6^{+}$ ，对应D项。【选D】

二、结论类——三角形相关：#

3. 拉窗帘模型（2025新热点）

已知 $1_1//1_2$ , 无论 A 点如何移动, $△ABC$ 面积不变

【注意】拉窗帘模型（2025 新热点）：已知 $1_1//1_2$ ，三角形的顶点在一条线上，三角形顶点对应的边在另一条线上，无论 A 点如何移动， $△ABC$ 面积不变。 $l_1//l_2$ ， $h_1=h_2$ ，底一样，面积是一样的。

【例 6】(2025 国考) 某厂区如图所示, 其中 ABCD 为矩形, ABEF 为直角梯形, AB 与 DE 相交于 G 点, 其中阴影区域 ADGF 为涉密区域。已知 AD、AF、AB 长度分别为 240 米、150 米、100 米, 问涉密区域的面积为多少万平方米?

A. 1.2

B. 1.3

C. 1.4

D. 1.5

【解析】6. 已知 $AD=240,AF=150,AB=100$ ，底边和高都没有，用函数表示会慢。△FAG 符合拉窗帘模型，F 点在一条平行线上，AG 在另一条平行线上，F 点可以在 FE 上拉动，移动到 E 点，阴影变成红色的部分，延长 AD 作高，高 $=AB=100$ 所求 $=1/2\ast 2400\ast 100=12000$ ，对应 A 项。【选 A】

【拓展】（2025天津）某矩形农场ABCD如图所示，矩形区域ADEF为生产区，矩形区域BCEF为休闲区。现连接BD将两区域打通，与EF相交于O点。已知AF和FE的长度分别为600米和400米，问COD围成的三角形阴影区域面积为多少万平方米？

A. 12

B. 15

C. 16

D. 18

【解析】拓展. AF=600, EF=400, 则 AD=400, OE、EC 未知, 出现平行, 从左往右看, 一个点在平行线上, 一条底边在平行线上, D 点往 A 点拉, $△$ DOE、 $△$ AOE 同底等高, $△$ DOE、 $△$ AOE 面积是相同的, 不好算; 看右边, 一个点在平行线上, 一条底边在平行线上, C 点移到 B 点, $△$ OEC 和 $△$ OEB 同底等高, 求阴影区域面积变成求 $△$ DEB 的面积, 底边是 DE, 过 B 点作垂线, 高为 BC, 所求 $=1/2\ast 600\ast 400=120000$ , 对应 A 项。【选 A】

$=12$

二、结论类——三角形相关：#

4. 面积性质（多个三角形，有公共边）

(1)两三角形底相同, 面积之比等于高之比;
(2)两三角形高相同，面积之比等于底之比

【注意】面积性质（多个三角形，有公共边）：

1. 两三角形底相同，面积之比等于高之比， $S_1=1/2\ast d\ast h_1$ ， $S_2=1/2\ast d\ast h_2$ ， $S_1/S_2=h_1/h_2$ 。出现典型图，就会考查。

2. 两三角形高相同，面积之比等于底之比。过顶点作垂线，高相同， $S_1=1/2\ast d_1\ast h$ ， $S_2=1/2\ast d_2\ast h$ ， $S_1/S_2=d_1/d_2$ 。出现典型图（无论怎么转都要认识），就会考查。

4.面积性质 (多个三角形,有公共边)#

(1)两三角形底相同, 面积之比等于高之比
(2)两三角形高相同, 面积之比等于底之比

【例 7】（2023 国考）公园里有一片四边形草坪，沿对角线修建的小道相交于 0 点，0 到四个顶点 A、B、C、D 的距离之比正好为 $1:2:3:4$ ，一名工人花费 1 天正好完成 AOB 区域的修剪，问第二天至少需要额外增加多少名效率相同的工人一起工作，才能在当天内完成剩余草坪的修剪？

A. 8

B. 10

C. 11

D. 12

【解析】7. 方法一：高相同，面积比=底之比，可以横着看，也可以侧着看。0 到四个顶点 A、B、C、D 的距离之比正好为 1:2:3:4，则 $OA=1$ ， $OB=2$ ， $OC=3$ ， $OD=4$ ，已知一名工人花费 1 天正好完成 AOB 区域的修剪， $S_{△AOB}=1$ ，则 $△AOB$ 和 $△BOC$ 高相同，底之比为 1:3，面积比为 1:3，则 $S_{△BOC}=3$ ；同理， $△AOB$ 和 $△AOD$ 底之比为 2:4=1:2，面积比为 1:2， $S_{△AOD}=2$ ； $△AOD$ 和 $△COD$ 底之比为 1:3，面积比为 1:3， $S_{△COD}=6$ ，剩余总面积为 $2+3+6=11$ ，需要 11 个人，原来有 1 个人，

需要额外增加 10 人，对应 B 项。

方法二：只要满足0到四个顶点A、B、C、D的距离之比正好为1：2：3：4，什么形状无所谓，图形形状不确定，就想最好算的形状，垂直， ${\mathrm{S}}_{△\mathrm{AOB}}=1/2\ast 1\ast 2=1$ 则 ${\mathrm{S}}_{△\mathrm{AOD}}=1/2\ast 2\ast 4=2,{\mathrm{S}}_{△\mathrm{BOC}}=1/2\ast 2\ast 3=3,{\mathrm{S}}_{△\mathrm{COD}}=1/2\ast 4\ast 3=6$ ，剩余总面积为 $2+3+6=11$ 需要11个人，额外增加10人，对应B项。【选B】

考场思维：图形形状不确定,就想最好算的形状

【注意】#

1. 底（高）相同的三角形，面积比等于高（底）之比。
2. 考场思维：图形形状不确定，就想最好算的形状。

结论类——三角形相关：

相似三角形（角、角）

相似比=对应边之比=对应高之比=对应周长之比=对应线段之比

面积比 $=$ 相似比

体积比 $=$ 相似比

【注意】结论类——三角形相关：

1. 相似三角形（角、角）：证明：区分全等的证明，公务员考试中不需要证明，你觉得相似就相似，好像就是相似，公务员考试不考证明，长得像就是相似，如果真要证明，记住“角、角”（两个角相等）即可。

2. 结论：

(1) 相似比 $=$ 对应边之比 $=$ 对应高之比 $=$ 对应周长之比 $=$ 对应线段之比, 如下图, 高之比为 1: 2, 周长比也是 1: 2, 对应的线段 (蓝线) 之比也是 1: 2。

(2) 面积比 $=$ 相似比; 中学的证明: $S_{△}=(1/2)\ast$ 底 $\ast$ 高, 两个三角形都有 “ $1/2$ ” , 高之比和底之比都是 “ $1:2$ ” , 面积之比为 $(1:2{)}^2=1:4$ 。
(3) 体积比 $=$ 相似比; 如下图的圆锥, 上下两个大、小圆锥长得一模一样 (只是大小有区别) $\to$ 肯定相似, 如果半径比为 1: 3 , 下面两个圆的面积比为 $(1/3{)}^2$ , 整个的体积比为 “ $(1/3{)}^3$ ” $\to$ 因为体积公式 $=$ （1/3）*底面积*高, 底面积之比为 $(1/3{)}^2$ , 再乘以高（的比）, 即 $(1/3{)}^3$ 。

【拓】（2020联考）某演播大厅的地面形状是边长为100米的正三角形，现要用边长为2米的正三角形砖铺满（如图所示）。问：需要用多少块砖？

A. 2763

B. 2500

C. 2340

D. 2300

【解析】拓展. 课上正确率为 $94\%$ ；本题不用算三角形的面积，都是正三角形，不用证明相似，一定相似（形状一样、大小不同），求面积比，相似比为 $1/50$ ，面积比为 $1/2500$ ，对应 B 项。【选 B】

【注意】#

1. 再看例 5: 如下图, 两个球长得一模一样 $\to$ 相似, 距离两个顶点的距离分别为 $AD/5、AD/2$ , 相似比为 $5/2$ , 面积比为 $(5/2{)}^2=25/4=6^{+}$ , 对应 D 项。

2. 考场思维：相似不仅仅局限于三角形，只要形状相同（如正方形、圆形），就相似。

【例9】（2024联考）有一个高为 $\mathrm{h}$ 的圆锥形容器，若容器内装有10升水，水面高度恰好为容器高度的一半。问该容器最多能装多少升水？

A. 80

B. 60

C. 40

D. 20

【解析】9. 结合图形，相似比为 $\mathrm{h}/2÷\mathrm{h}=1/2$ ，体积比为 $(1/2{)}^3=1/8$ ，“1”表示“10”，“8份”表示“80”，对应A项。【选A】

梯形：蝴蝶定理

在一个梯形中，若上底：下底=a：b；

则四个三角形面积之比为上：下：左：右 $=a^2$ ： $b^2$ ：ab：ab

【注意】梯形：蝴蝶定理——在一个梯形中（强调一下 $\to$ 必须是梯形），若上底：下底=a：b，连接对角线，如下图，四个三角形面积之比为上：下：左：右 $=a^2$ ： $b^2$ ：ab：ab。

1. 如果已知上底和下底之比为 $1:2$ ，则四个三角形面积之比为 $1:2^2:2:2$ 。

2. 非等腰梯形也可以，所有梯形都可以适用。
3. 原理: $a^2$ (三角形) 和 $b^2$ (三角形) 相似 (对顶角、内错角都相等) $\to$ 边之比为 $a/b$ , 面积之比为 $(a/b{)}^2\to a^2/b^2$ ; 再看左右, (左边的) $△ABO$ 和 $△ACO$ , 高相同 (记为 $x$ ), 底之比为 $a:b$ , 满足: $a^2/x=a/b\to x=ab$ , 右边也是如此。

【例8】（2023国考）一个三角形公园ABC内的道路如下图中实线所示。已知AE=EF=FB，AD=DC，且黑色部分为人工湖。问公园总面积是人工湖面积的多少倍？

A. 9

B. 12

C. 16

D. 18

【解析】8. $△ACF$ 中, E、D 均为中点, 两者的连线记作 “中位线” $\to$ 两个性质: 一定和底边平行、存在 1:2 的关系, DE 平行于 CF, ED=1/2*FC, 使用蝴蝶定理, 梯形 CDEF 中, 黑色小三角形面积记为 1 , 其他三角形为 2、2、4, 已知 AE=EF=FB, 三等分点, 底相等, 高相同, 中间紫色阴影 (面积) 为 6 , 则 (上下)两边的三角形也为 6 , 所求 $=$ (6+6+6): $1=18:1$ , 对应 D 项。【选 D】

一个三角形公园 $\mathrm{ABC}$ 内的自路如下图中实线所示。已知问公园总面积是人工湖面积的多少倍？

【注意】#

1. 考场思维：如果不会算，黑色面积如果为 1，红色部分面积应该为 2（高相同，底之比差不多为 2 倍）， $△CDE$ 为 $2+1=3$ ，蓝色面积（ $△ADE$ ）也为 3，则 $△ACE$ 面积为 $3+2+1=6$ ，其余两个三角形（ $△CEF$ 、 $△BCF$ ）面积也为 6，所求 $=(6+6+6)$ ： $1=18:1$ 。

园总面积是人工湖面积的多少倍？

考场思维：我不会算，我还不会看？

2. 再看例 5: 直接看, 两个圆的半径差不多是 $2^{+}$ (也可以用身份证、直尺、准考证比一下), 面积是 $2^{+2}=4^{+}$ , 对应 D 项。

考场思维：我不会算，我还不会看

【拓展】（2024国考）设计师将一个正方形的大厅分给如下图所示的几个区域，已知所有的三角形都是等腰直角三角形，梯形都是等腰梯形，且所有三角形和梯形面积均相等。在三角形的区域铺设地砖，在中间的正方形区域铺设木地板。问地砖和木地板的面积比是多少？

A.2:3

B. 4: 3

C. 8: 9

D. 16: 9

【解析】拓展。根据题意，问“地砖和木地板的面积比”，肯定要知道边长，大概看一下，猜一下，在正方形的边上画“1”，地砖的边差不多是2，地砖 $\to$ (1/2) 22*4=8，木地板 $\to 3^2=9$ ，对应C项。【选C】

铺设木地板。问地砖和木地板的面积比是多少？

考场思维：我不会算，我还不会看？

【注意】再看例6，看不出可以量一下， $\mathrm{AD}=240$ ，老师屏幕上对应 $4\mathrm{cm}$ ，所以 $1\mathrm{cm}$ 对应 $60$ ，AG 为 $1.2\mathrm{cm}\to 72$ ；过 F 点作高，量一下（到 AB 延长线的）距离 $\to$ 大概 $1.5\mathrm{cm}$ ， $1.5\ast 60=90$ ， $(1/2)\ast 72\ast (240+90)\to (1/2)\ast 72\ast 330$ ，考虑百化分，330 看成“1/3”， $(1/2)\ast 72\ast (1/3)\to$ （有效数字）12，猜 A 项。

什么是等差数列：任意相邻两项的差值相等

例：1、3、5、7、9……

公差： $\mathrm{d}=$

第6项： ${\mathrm{a}}_6=$

第 $\mathbf{n}$ 项： $a_n=$

【注意】什么是等差数列：任意相邻两项的差值相等；好识别，要么会告诉，要么是有条件暗指（递增、每周/天多……个）。

1. 例：1、3、5、7、9……。
2. 公差（相邻两项的差值），如上的数列，公差为 2。
3. 第6项 $\to {\mathrm{a}}_6$ 、第10项 $\to {\mathrm{a}}_{10}$ 、第20项 $\to {\mathrm{a}}_{20}$ 。
4. 第 $n$ 项：第 6 项需要在 a1 的基础上加 5 个公差 $\to 1+5\ast 2=11$ ； $a_n=a_1+(n-1)\ast d$ 。
5. 公式：

（1）通项公式： $a_n=a_1+(n-1)\ast d$
（2）求和公式： $S_n=n{a}_1+[n\ast (n-1)]/2\ast d=(a_1+a_n)/2\ast n=$ 平均数/中位数*n。

(1) $n{a}_1+[n\ast (n-1)]/2\ast d$ : 适用于告诉第一项和项数。
(2) $\left(a_1+a_n\right)/2\ast n$ : 适用于告诉第一项和最后一项。
(3) 平均数/中位数 $\ast \mathrm{n}$ :

a. 中位数（本质就是平均数）：等差数列中最中间的数字，如 1、3、5、7、9 的中位数为 “5”。
b. 如果是偶数项, 此时最中间没有数, 为最中间两个数字的平均数, 即加和 $/2$ 。

【例1】（2022联考）某市对下辖9个文艺表演团体去年新创节目的数量进行统计分析，发现9个团体新创节目的数量恰好成等差数列，其中前5个团体的新创节目总数是60，前7个团体的新创节目总数是70。那么这9个文艺表演团体去年新创节目的总数是：

A. 72

B. 76

C. 78

D. 80

【解析】1. 方法一：直接告诉了是等差数列，涉及等差数列的和， $a_1$ 未知、 $a_n$ 也未知，只能考虑公式“平均数/中位数*n”，已知前五项的总数为60，中位数 $a_3=60/5=12$ ，已知前七项的总数为70，中位数 $a_4=70/7=10$ ，从 $a_3$ 到 $a_4$ 公差为-2；求 $S_9$ ，前9项的中位数为 $a_5$ ， $a_4=10\to a_5=10-2=8$ ，所求 $=8\ast 9=72$ ，对应A项。

方法二： $S_9=a_5\ast 9$ ，形如“A=B*C”，团体个数一定是整数，所求为9的倍数，观察选项，只有A项满足，对应A项。【选A】

【注意】等差数列同时给出总数和项数，往往都要用到中位数（总数/项数）。

【例2】（2024陕西事业单位）小明做值日的时候发现教室的挂历上显示的是一周前的日期，于是小明将挂历的日期翻到今天，恰好所翻页的日期加起来是175。问今天是几号？

A. 24

B. 25

C. 28

D. 29

【解析】2. 根据题意，显示一周前的日期，一共7天，连续的数字，相当于一共7项，总和 $S_7=75$ ，考虑中位数，7项的第4项为中位数， $a_4=175/7=25$ ，翻了7页，依次往后数，直到翻了28号 $\to$ 显示29，对应D项。【选D】

【例3】（2023国考）工厂从某周第一天开始生产某种零件，每周生产7天，从第二天开始每一天都比前一天多生产200件。已知工厂第三周的产量是第一周的2倍，问第几天其日产量第一次达到1万件？

A. 37

B. 38

C. 39

D. 40

【解析】3. 根据题意，给出一个等差数列，公差 $=200$ ，已知第三周的产量是第一周的2倍，本质是等差数列的求和，第一周依次表示 $\to a_1,a_1+d,\dots ,a_1+6d$ ，第二周依次表示 $\to a_1+7d$ 、……，第三周依次表示 $\to a_1+14d$ ；使用公式“平均数/中位数*n”，因为未知数少；第三周的产量 $\to a_{\text{四}3}\ast 7=2\ast 7\ast a_{\text{四}1}$ ，项数都是7，可以约掉，总产值是2倍关系，所以中位数是2倍关系，两个等差数列项数相同，总和的倍数关系即为中位数的倍数关系，假设第一天是 $a_1$ ，第四天是 $a_1+3d$ ，后面每隔7天 $\to a_1+3d$ 、 $a_1+10d$ 、 $a_1+17d$ ， $a_1+17d=2\ast (a_1+3d)\to a_1=11d$ ，d为200， $a_1=11\ast 200=2200$ ，问“第几天的产量达到1万件”，求 $a_n$ ， $a_n=a_1+(n-1)d=10000\to 2200+(n-1)\ast 200=10000\to n-1=78/2=39$ ， $n=39+1=40$ ，对应D项。【选D】

【例3】(2023 国考)

工厂从某周第一天开始生产某种零件,每周生产7天,从第二天开始每一天都比前一天多生产 200 件。 已知工厂第三周的产量是第一周的 2 倍,问第几天其日产量第一次达到 1 万件？

A. 37
B. 38
C. 39
D. 40

$n=40$

☆思维点拨：两个等差数列项数相同,总和的倍数关系即为中位数的倍数关系

【注意】思维点拨：两个等差数列项数相同，总和的倍数关系即为中位数的倍数关系。

【例4】（2024黑龙江公安）某工厂生产一批零件，已知第1天每名工人只能生产10个，往后每天都比前一天多生产1个。若安排100名工人生产，25天正好完成这项生产任务。问若要在15天内完成这项生产任务，至少需要安排多少名工人？

A. 256

B. 243

C. 225

D. 216

【解析】4. 根据题意， $a_1=10$ ， $d=1$ ，100个人25天正好完成，可以先算一个工人25天生产量，再乘以100； $S_n=n{a}_1+[n\ast (n-1)]/2\ast d$ ， $S_{25}=25\ast 10+[(25\ast 24)÷2]\ast 1=250+300=550$ ；总数为 $550\ast 100=55000$ ，问“15天完成这项任务至少需要多少工人”，15项求和，首项还是10， $S_{15}=10\ast 15\ast [15\ast 14]/2]\ast 1=150+105=255$ 个，每个工人在该周期可以生产255个， $55000/255=11000/51\to$ （前两位有效数字） $21^{+}$ ，对应D项。【选D】

思维导图#

【注意】重点梳理#

1. 几个常考但不熟悉的公式：梯形面积公式： $(a+b)/2\ast h$ ；圆柱体积公式： $\pi r^2\ast h$ ；圆锥体积公式： $(1/3)\ast \pi r^2\ast h$ 。

2. 勾股定理: $a^2+b^2=c^2$ ; 常见的三组特殊勾股数: (3、4、5); (6、8、10); (5、12、13); 特殊三角形的比例关系: $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$ 三边比例 $=1:\sqrt{3}$ ; $2:45^{\circ },45^{\circ },90^{\circ }$ 三边比例 $=1:1:\sqrt{2}$ 。

3. 底（高）相同的三角形，面积比等于（底）高之比。

4. 相似三角形，对应边之比等于相似比，面积之比等于相似比²，体积之比为相似比³。

5. 等差数列通项公式： $a_n=a_1+(n-1)\ast d$ ；等差数列求和公式： $S_n=n{a}_1+[n\ast (n-1)]/2\ast d=(a_1+a_n)/2\ast n=\text{平均数}/\text{中位数}\ast n$ 。

【课后练习 1】（2024 国考）某公园内的道路如下图所示，其中 AB、BC 分别为正南北向和正东西向道路，AB、AC 分别长 100 米和 200 米，且 $△BCD$ 为正三角形，如要用直线道路连接 AD，则该道路的长度为多少米？

A. $150\sqrt{3}$

B. $50\left(\sqrt{3}+1\right)$

C. $100\sqrt{7}$

D. $200\sqrt{2}$

【解析】练习 1.2024 年国考题, 很新; 根据题意, $\angle ABC$ 为直角, $AC=200$ 、 $AB=100$ , 所以 $\angle ACB=30^{\circ }$ , 所以 $BC=100\sqrt{3}$ , 因为 $△BCD$ 为正三角形, 所以 $\angle BCD=60^{\circ }$ , $\angle ACD=90^{\circ }$ , 勾股定理, 所求 $=\sqrt{\left[200^2+(100\sqrt{3}{)}^2\right]}=\sqrt{(40000+30000)}=100\sqrt{7}$ , 对应 C 项。【选 C】某公园内的道路如下图所示, 其中 $AB、BC$ 分别为止南北问和止东西问道路, $AB、AC$ 分别长 100 200 米, 且 $△BCD$ 为正三角形. 如要用直线道路连接 $AD$ , 则该道路的长度为多少米?

A. $150\sqrt{3}$
B. $50(\sqrt{3}+1)$
C. 100~7
D. $200\sqrt{2}$

【课后练习2】（2022江苏）某金融机构向9家“专精特新”企业共发放了4500万元贷款，若这9家企业获得的贷款额从少到多排列，恰好为一个等差数列，且排第3的企业获得420万元贷款，排第8的企业获得的贷款额为：

A. 620万元

B.660万元

C. 720 万元

D. 760 万元

【解析】练习2. 根据题意，9家发放4500万，可以得出中位数 $a_5$ 为 $4500/9=500$ ； $a_3=420$ ， $2d=500-420=80\to d=40$ ，所求 $=a_5+3d=500+3\ast 40=620$ ，对应A项。【选A】

【答案汇总】#

几何问题 1-5: DABDB; 6-9: ABDA

等差数列1-4：ADDD

遇见不一样的自己

Be your better self